Johannes Kepler, jeden z najprzenikliwszych myślicieli w dziejach europejskiej kultury, był mistykiem poszukującym pitagorejskiej harmonii w urządzeniu świata materialnego jako widomego znaku Bożego projektu. Odkryte przez siebie Trzecie prawo opublikował w roku 1619, w pracy pod tytułem Harmonices Mundi, podkreślającym kunsztowną harmonię w ruchu planet, które Trzecie prawo opisuje. Głosi ono, że sześciany rozmiarów orbit planetarnych R3 są w Układzie Słonecznym proporcjonalne do kwadratów okresów orbitalnych P2, czyli, że stosunek R3/P2 wyrażony jest tą samą — jedną! — „liczbą Keplera” dla wszystkich planet Układu.
Tak, ruch planet jest aż tak zachwycająco piękny i aż tak zdumiewająco prosty.
Isaac Newton w swym monumentalnym dziele Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica wydanym w roku 1687, wyliczył z praw dynamiki oraz prawa powszechnego ciążenia w tej księdze przez niego samego sformułowanych, że liczba Keplera równa jest (G/2π2) M, gdzie G = {stała grawitacji}, π = 3.1415 oraz M = {masa ciała centralnego wokół którego krążą planety}, czyli w szczególnym przypadku Układu Słonecznego — masa Słońca. Liczba Keplera zawiera więc w sobie informację, iż przyczyną tak harmonijnego ruchu planet jest grawitacja Słońca — w liczbie Keplera tkwi bowiem stała grawitacji G (ta sama, co w Newtona prawie powszechnego ciążenia) pomnożona przez masę Słońca M. Liczba π nie jest wisienką na torcie, ale wynika stąd, iż geometria Euklidesa także kształtuje liczbę Keplera — wiąże mianowicie rozmiary orbit z ich obwodami, czyli drogami planet w przestrzeni: w szczególności, orbity kołowe mają obwody równe 2πR, co wszyscy powinniśmy pamiętać ze szkoły. Formułę Keplera-Newtona można więc zapisać jako:
R3/P2 = (G/2π2)M.
Wynika z niej, że znając z obserwacji okresy obiegu P planety oraz rozmiar jej orbity R można bezpośrednio wyznaczyć masę ciała centralnego
M = (2π2/G) (R3/P2)
I tak właśnie czynią astronomowie od XVII wieku po dziś dzień. XVII-wieczna formuła Keplera-Newtona jest najdokładniejszym znanym nauce sposobem wyznaczania masy ciał niebieskich. Także z tego powodu, iż zarówno okresy obiegu jak i rozmiary orbit mierzymy z ogromną dokładnością. Już Grecy znali dość dokładnie ich wartości. Mogli odkryć prawo Keplera, i to nawet w systemie Ptolemeusza.
Dzięki Keplerowi zmierzyliśmy nie tylko masy, ale także rozmiary wielu obiektów we Wszechświecie, bo przecież łatwiej jest precyzyjnie mierzyć czas niż rozmiary albo odległości. Tak więc, w pewnym dobrze określonym sensie, Kepler powinien wielokrotnie dostać Nagrodę Nobla —także całkiem niedawno.
W roku 2020 Nagrodę Nobla z fizyki otrzymało troje fizyków za prace nad czarnymi dziurami. Roger Penrose (2/3 nagrody) za udowodnienie twierdzenia o tworzeniu się osobliwości w procesie kolapsu grawitacyjnego — w tym procesie powstają czarne dziury. Była to pierwsza Nagroda Nobla przyznana za matematyczne odkrycie w teorii względności — bowiem nawet Albert Einstein takiej nie dostał; on dostał Nobla za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego. Nagrodą podzielili się z Penrosem Andrea Ghez (1/6 nagrody) i Reinhard Genzel (1/6 nagrody): dostali Nobla za prace obserwacyjne — ten ostatni za dokładne wyznaczenie orbit kilkunastu gwiazd spośród wielu krążących wokół SgrA*, czyli supermasywnej czarnej dziury w centrum naszej Galaktyki. Wyznaczenie rozmiarów i czasów orbitalnych pozwoliło na bardzo dokładne wyliczenie masy tej czarnej dziury bezpośrednio ze wzoru Keplera-Newtona: wynosi ona nieco ponad cztery miliony mas Słońca.
Skąd się bierze ta niesamowita skuteczność prawa Keplera w opisie realnego świata? Jeśli bowiem nasze umysły są wyłącznie materialne, całkowicie ukształtowane przez darwinowską ewolucję, a matematyka jest wyłącznie tworem naszej społecznej działalności, która nie podlega czynnikom transcendentalnym, czyli jest określona wyłącznie przez materialne „tu i teraz”, to jak to możliwe, że w XVII wieku Kepler sformułował pewną prostą ideę, pięknie wyrażoną matematycznie, która 400 lat później pozwoliła na dokładne zmierzenie masy czarnej dziury w centrum naszej Galaktyki? Przecież Kepler nie miał żadnego wyobrażenia ani o Galaktyce, ani o czarnych dziurach, ani nawet nie znał pojęcia „masa”!
Pytanie o tę zdumiewającą skuteczność prawa Keplera, jest, rzecz jasna, szczególnym przypadkiem najbardziej fundamentalnego pytania filozofii nauk przyrodniczych: dlaczego obowiązują prawa fizyki, skąd się one biorą i co sprawia, że kształtowane są przez zrozumiałą dla nas, ludzi, abstrakcyjną, matematyczną harmonię, miarę i piękno?
Jak wielokrotnie podkreślał Roger Penrose, umiejętność pozwalająca na odkrywanie zupełnie abstrakcyjnych prawd matematycznych w żaden sposób nie zwiększa przecież osobniczej szansy na przetrwanie lub na sukces reprodukcyjny. Dlatego nie jest, zapewne, wytworem darwinowskiej ewolucji. Skąd się więc bierze w niektórych z nas ta siła fatalna, która tylko czoło zdobi?
Nikt nie zna odpowiedzi na to pytanie, choć zadawane było od zarania naszej cywilizacji. Pytali o to Platon, Cyceron i Spinoza. Wymieniłem tych trzech mężów, bo stale czytam z niemałym pożytkiem i przyjemnością ich dzieła, rozjaśniające moje rozumienie holistycznej rzeczywistości świata. Pytał także o to najbliższy mi w filozofii teodycei Leibniz, urodzony ledwie 15 lat po śmierci Keplera.
Z prawem Keplera i jego zastosowaniem do mierzenia rozkładu masy w Galaktyce wiąże się pewien niepokojący (i dotąd nierozwiązany) problem współczesnej astrofizyki. Rozkład masy znany jest, rzecz jasna, bezpośrednio z obserwacji: „widzimy” bowiem materię oczami naszych teleskopów, radioteleskopów, teleskopów rentgenowskich i podczerwonych. Wiemy zatem, ile jest masy w odległości od centrum Galaktyki mniejszej niż pewna ustalona odległość R: będę tę wielkość oznaczał symbolem M0(R). Materia Galaktyki krąży wokół galaktycznego centrum, z prędkościami V, które są różne w różnych odległościach od centrum R. Potrafimy tę prędkość dokładnie mierzyć, czyli wyznaczać obserwacyjnie funkcję V(R). Ale ponieważ prędkość orbitalna V(R) równa jest długości orbity 2πR podzielonej przez okres orbitalny P, to znaczy V(R) = 2πR/P, możemy wzór Keplera-Newtona napisać tak
MK(R) = V(R)2(R/2G)
Czyli: ze zmierzonej prędkości orbitalnej V gwiazdy w Galaktyce i rozmiaru jej orbity R możemy wyznaczyć masę całej materii w odległości mniejszej niż R od centrum Galaktyki. Oznaczyłem tę wielkość symbolem MK(R), aby zaznaczyć i podkreślić, że jest ona wyliczona ze wzoru Keplera-Newtona. Masa wyznaczona z prawa Keplera powinna być taka sama jak masa materii, którą widzimy. Ale tak nie jest: w naszej Galaktyce i w większości galaktyk dla których takich pomiarów dokonano, masa MK(R) wyznaczona ze wzoru Keplera-Newtona jest dużo większa, niż masa materii, którą widzimy. Innymi słowy: zewnętrzne części Galaktyki obracają się o wiele zbyt szybko — ilość materii, którą widzimy, jest o wiele za mała, aby tak wielką prędkość wyjaśnić.
Teoria nie zgadza się z obserwacjami!
To, rzecz jasna, stanowi poważny problem. Większość fizyków i astrofizyków rozwiązuje ten problem (moim zdaniem — omija) zakładając, że w Galaktyce jest ogromna ilość nieobserwowanej ciemnej materii.
Nie znamy fizycznej natury tej hipotetycznej ciemnej materii. Stephen Hawking zaproponował, że składa się ona z pierwotnych czarnych dziur, które powstały tuż po Wielkim Wybuchu, na samym początku istnienia Wszechświata. Nie będę, nawet krótko, przedstawiał licznych hipotez (opartych na ideach jeszcze niesformułowanej kwantowej grawitacji) tworzenia się pierwotnych czarnych dziur. Zajmę się problemem praktycznym: jeśli pierwotne czarne dziury istnieją, to jak je wykryć?
Jednym z praktycznych sposobów jest dokładna analiza obserwowanych „ćwierków” promieniowania grawitacyjnego, które powstaje w zderzeniach czarnych dziur ze sobą i innymi obiektami zwartymi, na przykład gwiazdami neutronowymi. Analiza, oparta na modelowaniu zjawiska poprzez rozwiązywanie równań Einsteina z pomocą superkomputerowych symulacji, co jest trudne, czasochłonne i drogie, pozwala na wyznaczenie masy czarnej dziury biorącej udział w zderzeniu. Zderzenia są obserwowane przez detektory promieniowania grawitacyjnego, czyli interferometry LIGO-Virgo-Kagra (Nagroda Nobla, 2017). Istnieją podejrzenia, iż w co najmniej jednym (?) z nich mogła brać udział pierwotna czarna dziura, ale to nic pewnego.
Opiszę tutaj inny sposób wykrywania pierwotnych czarnych dziur, już używany — i to z ogromnym sukcesem — przede wszystkim do ciągłego monitorowania jasności milionów gwiazd i wykrywania poza słonecznych układów planetarnych. Jest to sposób oparty na opisanym przez Alberta Einsteina w roku 1936 zjawisku soczewkowania grawitacyjnego. Einstein nie był jego pierwszym odkrywcą —podobno pewien kelner z Brooklinu napisał na ten temat artykuł i posłał do „Physical Review”, ale redakcja nie zdecydowała się na publikację. Efekt polega na tym, iż światło zakrzywia swój bieg, gdy czasoprzestrzeń odkształcana jest w polu grawitacyjnym masywnego ciała. Sam efekt zakrzywienia torów promieni świetlnych Einstein przewidział już w roku 1912, podczas swojej dwuletniej profesury w Pradze. Soczewkowanie grawitacyjne zachodzi, jeśli masywne ciało znajdzie się dokładnie na linii widzenia w kierunku (znacznie bardziej) odległej gwiazdy: wtedy bowiem światło gwiazdy ulega skupieniu, a przez to wzmocnieniu, podobnie jak zakrzywienie promieni światła w soczewce powoduje jego wzmocnienie.
Einstein sądził, że takie przypadkowe przejścia dokładnie przez linię widzenia są tak absurdalnie mało prawdopodobne do zaobserwowania (rzecz jasna, wyliczył prawdopodobieństwo: p ~ 0.000001 w ciągu roku), iż zjawisko nie ma praktycznego znaczenia. Ale… Bohdan Paczyński w roku 1986 opublikował fundamentalnie ważną pracę, w której pokazał, że już wtedy istniejące technologie (kamery CCD) oraz moce obliczeniowe istniejących już wtedy komputerów, pozwalały w zasadzie na jednoczesne śledzenie i analizowanie jasności milionów gwiazd. To zwiększa prawdopodobieństwo zaobserwowania w ciągu roku zjawiska soczewkowania grawitacyjnego do p ~ 1. Bingo!
Andrzej Udalski zajął się praktycznym zbudowaniem aparatury i napisaniem programu na analizę Big Data, który oparty był na pomyśle Paczyńskiego.
To było trudne i nowatorskie. W ten sposób powstał pionierski program OGLE. Moi koledzy, głównie z Obserwatorium Uniwersytetu Warszawskiego, tworzący zespół kierowany przez Andrzeja Udalskiego, mają własny teleskop w Chile, który pracuje tylko dla OGLE.
Dziś działa na świecie kilka innych zespołów używających soczewkowania grawitacyjnego jako głównej zasady pozyskiwania danych.
Artykuły, opublikowane w roku 2023 przez Przemysława Mroza, Andrzeja Udalskiego i innych astronomów z zespołu OGLE w „Nature” oraz „The Astrophysical Journal Letters”, podsumowujące 20 lat zbierania przez OGLE danych dotyczących istnienia hipotetycznych pierwotnych czarnych dziur Hawkinga, stwierdzają, iż wykluczone jest, aby pierwotne czarne dziury stanowiły nawet niewielką część ciemnej materii w przedziale mas począwszy od masy dużych asteroid, a skończywszy na masach rzędu setek mas Słońca.
Natomiast OGLE nie wyklucza możliwości istnienia pierwotnych czarnych dziur o masach znacznie mniejszych: rzędu mas małych asteroid. Takie hipotetyczne czarne dziury miałyby rozmiary rzędu rozmiaru atomu, a najmniejsze z nich rzędu jądra atomu. Tu trzeba koniecznie powiedzieć, iż jeśli inna hipoteza Hawkinga jest prawdziwa, mianowicie że czarne dziury promieniują z powodu efektów kwantowych, to nie może być dzisiaj pierwotnych czarnych dziur o masach mniejszych niż 1015gramów (Mont Everest ma w przybliżeniu taką masę) ponieważ wypromieniowały one całą swoją masę (E=mc2) w czasie od swego powstania na początku istnienia Wszechświata do dziś, to znaczy w ciągu 13.8 miliardów lat. Co więcej, w dającej się przewidzieć przyszłości ani ulepszone OGLE, ani ulepszone interferometry LIGO-Virgo-Kagra, nie będą zdolne dostarczyć takich danych.
Dlatego właśnie nasz pomysł, który teraz omawiam, może być bardzo przydatny. Michał Bejger, Andrzej Udalski, Maciej Wielgus i ja dowodzimy w pracy opublikowanej w roku 2022 w „The Astrophysical Journal Letters”, że jeśli pierwotne czarne dziury naprawdę istnieją, to muszą koniecznie zderzać się z innymi galaktycznymi obiektami, w tym z gwiazdami. Pojedyncze zderzenie nie może być co prawda zaobserwowane, ale zderzenia z gwiazdami neutronowymi prowadzą do grawitacyjnego złapania małej czarnej dziury przez gwiazdę neutronową. Po uderzeniu z prędkością ucieczki i przeleceniu na wskroś przez gwiazdę neutronową, czarna dziura wylatuje z drugiej strony gwiazdy z prędkością mniejszą niż prędkość ucieczki, gdyż traci część energii skutkiem dynamical friction, czyli w procesie opisanym — co prawda w innym kontekście — najpierw przez Subrahmanyana Chandrasekhara (noblistę z roku 1983), później przez Rudermana Spiegela z Columbia University, oraz najbardziej dokładnie przez Evę Ostriker, córkę słynnego astronoma z Princeton. My opisujemy teraz ten proces za pomocą eleganckiej analizy analitycznej, którą wymyślił Jiří Horák, mój współpracownik z Pragi. Utrata energii powoduje, że czarna dziura zawraca, uderza raz jeszcze w gwiazdę, i raz jeszcze, i ponownie, osiadając w końcu w jej centrum. Wtedy zaczyna ją pożerać zwiększając swą masę. Najpierw powoli w procesie opisanym przez Bondiego, a potem, gdy jej masa wzrośnie, w szybkim i katastrofalnym kolapsie grawitacyjnym, opisanym w słynnej pracy Oppenheimera i Snydera, opublikowanej 1 września 1939 w „Physical Review Letters”. W obsypanym nagrodami filmie o Oppenheimerze jest scena, w której Snyder, wówczas student Oppenheimera, wpada do auli tuż przed wykładem, krzycząc z radości: „Opublikowali naszą pracę!!!”.
Notabene, ta praca jest ważna także dlatego, że po raz pierwszy dowiodła realności formowania się horyzontu zdarzeń w procesie grawitacyjnego kolapsu, co prawda w bardzo szczególnym przypadku, gdy kolapsująca materia jest bezciśnieniowym pyłem. Einstein nie wierzył, że taki proces jest możliwy. Podobnie nie wierzył w to Leopold Infeld — długoletni współpracownik Einsteina w Princeton, a potem twórca szkoły fizyki relatywistycznej przy Hożej. Kiedyś pod koniec lat sześćdziesiątych polecił Jean-Pierre’owi Lasocie (wtedy Lasota był studentem), aby ten zreferował pracę Oppenheimera-Snydera na (słynnym, „infeldowskim”), cotygodniowym seminarium na Hożej.Infeld był przekonany, że ta praca musi być błędna. Jean-Pierre ją przeczytał, zrozumiał i stwierdził, że jest poprawna we wszystkich (dość zawiłych) matematycznych szczegółach. Tak też przedstawił rzecz na seminarium. Zawsze, gdy mi o tym opowiadał, wspominał ogromne, pozytywne wrażenie, jakie zrobił wtedy na nim Infeld. Infeld w lot, na miejscu, zrozumiał tok rachunków Oppenheimera-Sydnera przedstawiony przez Lasotę. Jak dobry fizyk, którym Infeld bez wątpienia był, od razu zmienił zdanie, przyznając się publicznie do błędu: „Tak, Einstein się mylił, a ja razem z nim. Ta praca jest poprawna, wbrew temu, co wiem od Einsteina jeszcze z Princeton. Dziękuję, że pan to tak zwięźle nam dziś pokazał”.
Wracając do naszej (Abramowicz, Bejger, Udalski, Wielgus) pracy, to wynika z niej, że jeśli pierwotne czarne dziury istnieją, to ich konieczne zderzenia z gwiazdami neutronowymi muszą koniecznie produkować czarne dziury o masach rzędu masy Słońca lub trochę mniejszymi. Wyliczyliśmy dokładnie liczbę tych lekkich czarnych dziur. Zarówno OGLE jak i LIGO-Virgo-Karga (a zwłaszcza ich ulepszone wersje planowane w najbliższej przyszłości) są w stanie takie lekkie czarne dziury wykrywać. Jeśli nie zostaną wykryte w liczbie większej, niż przez nas określone minimum, będzie to dowód nie do obalenia, że takich pierwotnych czarnych dziur nie ma.
Moim zdaniem już teraz, na podstawie dotychczas uzyskanych przez OGLE wyników, można twierdzić, że nie ma pierwotnych czarnych dziur Hawkinga. To jest w zgodzie z moim poglądem, że w naszej Galaktyce i innych galaktykach nie ma ciemnej materii. Uważam, że zbyt szybka rotacja Galaktyki, niezgodna z teorią Newtona i Einsteina, sugeruje konieczność zmiany tych teorii przez modyfikację zasady dynamiki (siła jest proporcjonalna do przyśpieszenia) na zasadę dynamiki MOND Mordechaja Milgroma i Jacoba Bekensteina (dla bardzo małych przyspieszeń siła jest proporcjonalna do kwadratu przyśpieszenia).
Moi współpracownicy są ostrożni i wykręcają się jak tylko mogą od takiego postawienia sprawy. Przyznaję jednak, że mój pogląd jest dość heretycki.
MAREK ARTUR ABRAMOWICZ
Felieton ten jest nieco rozbudowanym konspektem referatu wygłoszonego 7 kwietnia 2025 w księgarni Tarabuk na Zamku Ujazdowskim w Warszawie. Bardzo dziękuję panu Jakubowi Bułatowi, właścicielowi księgarni za umożliwienie spotkania z gronem bywalców tego magicznego miejsca i opowiedzenia o moich najnowszych naukowych fascynacjach.
